Une série de Taylor est une méthode numérique de représenter une fonction donnée. Cette méthode a des applications dans de nombreux domaines de l'ingénierie. Dans certains cas, tels que le transfert de chaleur, une différence de résultats d'analyse dans une équation qui correspond à la forme d'une série de Taylor. Une série de Taylor peut aussi représenter une intégrale si l'intégrale de cette fonction ne existe pas analytiquement. Ces représentations ne sont pas des valeurs exactes, mais le calcul de plusieurs termes dans la série feront le rapprochement plus précis.
Choisissez un centre pour la série de Taylor. Ce nombre est arbitraire, mais il est une bonne idée de choisir un centre où il ya une symétrie dans la fonction ou lorsque la valeur pour le centre simplifie les mathématiques du problème. Si vous calculez la représentation en série de Taylor de f (x) = sin (x), un bon centre à utiliser est un = 0.
Déterminer le nombre de mandats que vous souhaitez calculer. Les plus termes que vous utilisez, plus la précision de votre représentation seront, mais depuis une série de Taylor est une série infinie, il est impossible d'inclure toutes les conditions possibles. Le sin (x) exemple utilisera six termes.
Calculer les dérivés dont vous aurez besoin pour la série. Pour cet exemple, vous devez calculer tous les dérivés jusqu'à la dérivée sixième. Depuis la série de Taylor commence à "n = 0," vous devez inclure le "0e" dérivé, qui est juste à la fonction d'origine.
Dérivé 0e = sin (x)
1er = cos (x)
2ème = sin (x)
3ème = cos (x)
4 = sin (x)
5e = cos (x)
6 = sin (x)
Calculer la valeur pour chaque produit dérivé au centre que vous avez choisi. Ces valeurs seront les numérateurs pour les six premiers termes de la série de Taylor.
sin (0) = 0
cos (0) = 1
-sin (0) = 0
-cos (0) = -1
sin (0) = 0
cos (0) = 1
-sin (0) = 0
Utilisez les calculs et centre dérivés pour déterminer les modalités de la série de Taylor.
1er terme- n = 0- (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1
2ème terme- n = 1- (1/1!) (X - 0) = x ^ 1/1!
3ème terme- n = 2- (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2!
4e terme- n = 3- (-1/3!) (X - 0) = ^ 3 ^ -x 3/3!
5ème terme- n = 4- (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4!
6e terme- n = 5 (1/5!) (X - 0) 5 ^ = ^ x 5/5!
Série de Taylor pour le péché (x):
sin (x) = x 0 + / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Déposez les termes zéro dans la série et de simplifier l'expression algébrique pour déterminer la représentation simplifiée de la fonction. Ce sera une série complètement différente, de sorte que les valeurs de "n" utilisé précédemment ne sont plus applicables.
sin (x) = x 0 + / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
sin (x) = x / 1! - (X ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ...
Depuis la signes alternent entre positif et négatif, le premier composant de l'équation simplifiée doit être (-1) ^ n, puisqu'il n'y a pas même les numéros de la série. Le terme (-1) ^ n résultats dans un signe négatif lorsque n est impair et un signe positif lorsque n est pair. La représentation en série de numéros impairs est (2n + 1). Lorsque n = 0, ce terme est égale à 1- lorsque n = 1, ce terme est égal à 3 et ainsi de suite à l'infini. Dans cet exemple, utiliser cette représentation pour les exposants de x et les factorielles au dénominateur
Utiliser la représentation de la fonction à la place de la fonction d'origine. Pour plus d'équations avancés et les plus difficiles, une série de Taylor peut faire une équation insoluble résoluble, ou au moins donner une solution numérique raisonnable.